Przeciętny Zawsze Stacjonarny

Przenoszenie średnich i wykładniczych modeli wygładzania. Jest to pierwszy krok w wychodzeniu poza średnie modele, przypadkowe modele walk i modele trendów liniowych, nieuzasadnione wzorce i trendy mogą być ekstrapolowane przy użyciu modelu ruchomego średniego lub wygładzającego Podstawowym założeniem modelu uśredniania i wygładzania jest że szereg czasowy jest lokalnie stacjonarny, a powoli zmienia się średnio W związku z tym ruchomą lokalną średnią szacujemy wartość bieżąca średniej, a następnie ją wykorzystujemy jako prognozę dla najbliższej przyszłości. Można to uznać za kompromis pomiędzy średnim modelem i model "random-walk-without-drift" Ta sama strategia może być użyta do oszacowania i ekstrapolacji tendencji lokalnej Średnia ruchoma jest często nazywana wyrafinowaną wersją oryginalnej serii, ponieważ uśrednianie krótkotrwałe ma na celu wyrównanie uderzeń w oryginalnej serii Dzięki dostosowaniu stopnia wygładzania szerokości średniej ruchomej możemy mieć nadzieję, że osiągniemy pewien rodzaj optymalnej równowagi między osiągnięciem średniej i przypadkowe modele chodzenia Najprostszym rodzajem modelu uśredniania jest średnia ruchoma równa. Prognoza dla wartości Y w czasie t1, która jest wykonana w czasie t, jest równa średniej średniej z ostatnich obserwacji m. Tutaj i gdzie indziej będę używać symbolu Y-hat do prognozowania serii czasowej Y dokonanej najwcześniej w poprzednim terminie przez dany model Średnia ta jest skoncentrowana w przedziale 1 2, co oznacza, że ​​oszacowanie lokalna średnia będzie miała tendencję do opóźnienia w stosunku do prawdziwej wartości średniej lokalnej o około m 1 2 okresy Tak więc mówimy średni wiek danych w prostej średniej ruchomej wynosi m 1 2 w stosunku do okresu, na który obliczana jest prognoza jest to kwota czasu, w jakim prognozy będą się spóźniały za punktami zwrotnymi w danych Na przykład, jeśli uśrednimy ostatnie 5 wartości, prognozy będą wynosić około 3 okresy późne w odpowiedzi na punkty zwrotne Zauważ, że jeśli m 1, prosty średni ruchowy model SMA jest równoważny modelowi losowego spaceru bez wzrostu Jeśli m jest bardzo duże porównywalne z długością okresu szacowania, model SMA jest równoważny modelowi średniemu Tak jak w przypadku dowolnego parametru modelu prognozowania, zwyczajowo dostosować wartość ki n Aby uzyskać najlepsze dopasowanie do danych, tzn. najmniejsze błędy prognozy przeciętnie. Oto przykład serii, która wydaje się wykazywać przypadkowe wahania wokół średnio zróżnicowanej średniej. Po pierwsze, spróbuj dopasować ją do przypadkowego spaceru model, co odpowiada prostej średniej ruchomej 1 terminu. Model przypadkowego spaceru reaguje bardzo szybko na zmiany w serii, ale w ten sposób pobiera dużo hałasu w danych losowych wahań, jak również sygnału lokalnego średnia Jeśli weźmiemy pod uwagę prostą średnią ruchomą wynoszącą 5 terminów, otrzymujemy gładsze wyobrażenia prognoz. 5-letnia prosta średnia ruchoma daje w tym przypadku znacznie mniejsze błędy niż model losowego spaceru w tym przypadku Przeciętny wiek danych w tym prognoza wynosi 3 5 1 2, tak że ma ona tendencję do opóźnienia za punktami zwrotnymi o około trzy okresy Na przykład, spadek koniunktury wydaje się mieć miejsce w okresie 21, ale prognozy nie odwracają się do kilku okresów później. Notyczność, długoterminowe prognozy z mod SMA mod El jest poziomej prostej, podobnie jak w modelu random-walk. Model SMA zakłada więc, że nie ma tendencji do danych. Jednak prognozy z modelu random walk są po prostu równe ostatniej obserwowanej wartości, prognozy od model SMA jest równy średniej ważonej z ostatnich wartości. Obciążenia ufności obliczone przez Statgraphics w odniesieniu do długoterminowych prognoz dotyczących prostej średniej ruchomej nie są szersze w miarę wzrostu horyzontu prognozowego. To oczywiście nie jest poprawne Niestety, nie ma podstaw teorii statystycznej, która mówi nam, jak przedziały ufności powinny poszerzać się w tym modelu Jednak nie jest zbyt trudno obliczyć empiryczne szacunki dopuszczalnych granic dla prognoz dłuższego horyzontu Na przykład można utworzyć arkusz kalkulacyjny, w którym model SMA byłby wykorzystywany do prognozowania 2 kroków do przodu, 3 kroków do przodu, itd. w ramach historycznej próbki danych Można następnie obliczyć próbkowe odchylenia standardowe błędów w każdej prognozie h orizon, a następnie skonstruuj interwały zaufania na potrzeby prognoz długoterminowych przez dodawanie i odejmowanie wielokrotności odpowiedniego odchylenia standardowego. Jeśli spróbujemy 9-letnią prostą średnią ruchomej, otrzymamy jeszcze gładsze prognozy i bardziej opóźniamy efekt. Średni wiek to teraz 5 okresów 9 1 2 Jeśli weźmiemy 19-letnią średnią ruchliwą, średni wiek wzrasta do 10.Notice, że rzeczywiście prognozy są teraz w tyle za punktami zwrotnymi o około 10 okresów. Jaka ilość wygładzania jest najlepsza dla tej serii Oto tabela, w której porównano ich statystykę błędów, również zawierającą średnią 3-miesięczną. Model C, 5-letnia średnia ruchoma, daje najniższą wartość RMSE przez mały margines w średnim okresie 3-letnim i 9-dniowym, a ich inne statystyki są prawie identyczne Więc wśród modeli o bardzo podobnych statystykach błędów możemy wybrać, czy wolelibyśmy nieco lepszej reakcji lub trochę bardziej gładko w prognozach. Powrót do góry strony. Brown s Simple Exponential Smoothing wykładniczy ważony średniej ruchomej. Opisany powyżej prosty model średniej prędkości ma niepożądaną właściwość, która traktuje ostatnie obserwacje równomiernie i całkowicie ignoruje wszystkie poprzednie obserwacje Intuicyjnie, dane z przeszłości powinny być dyskontowane w sposób bardziej stopniowy - na przykład najnowsze obserwacje powinny trochę więcej niż druga ostatnia, a druga najnowsza powinna mieć trochę więcej wagi niż trzeci ostatni, i tak dalej Prosty wygładzający model SES osiąga to. Oznacza to, że wygładzanie stale zmienia liczbę pomiędzy 0 a 1 Jednym ze sposobów zapisania modelu jest zdefiniowanie serii L, która reprezentuje poziom bieżący tj. Lokalna średnia wartość serii, szacowana na podstawie danych do dnia dzisiejszego. Wartość L w czasie t jest obliczana rekurencyjnie od własnej poprzedniej wartości, jak ta. Tak więc bieżąca wygładzona wartość jest interpolacją między poprzednią wygładzoną wartością a bieżącą obserwacją, gdzie kontroluje bliskość interpolowanej wartości najbardziej średnia prognoza Prognoza na następny okres jest po prostu aktualną wygładzoną wartością. W równym stopniu możemy wyrazić następną prognozę bezpośrednio w odniesieniu do poprzednich prognoz i wcześniejszych obserwacji, w każdej z następujących równoważnych wersji W pierwszej wersji prognoza jest interpolacją pomiędzy poprzednią prognozą a wcześniejszą obserwacją. W drugiej wersji następna prognoza uzyskuje się przez dostosowanie poprzedniej prognozy w kierunku poprzedniego błędu w ułamkowej wartości. Jest to błąd popełniony w czasie t W trzecim projekcie prognoza jest wykładnicza ważona, tzn. zdyskontowana średnia ruchoma ze współczynnikiem dyskonta 1. Wersja interpolacyjna formuły prognozowania jest najprostszym rozwiązaniem, jeśli model jest stosowany w arkuszu kalkulacyjnym, który mieści się w jednej komórce i zawiera odwołania do komórek wskazujące na poprzednią prognozę, poprzednią obserwacja i komórka, w której zachowana jest wartość. Zwróć uwagę, że jeśli 1, model SES jest równoważny losowemu modelowi spacerowemu z hout growth Jeśli 0, model SES jest równoważny modelowi średniemu, przy założeniu, że pierwsza wygładzona wartość jest równa średniej. Powrót na górę strony. Średni wiek danych w prognozie wygładzania wykładnicza prostokątnego wynosi 1 względny do okresu, w którym obliczana jest prognoza To nie powinno być oczywiste, ale można to łatwo wykazać przez ocenę nieskończonej serii W związku z tym prosta prognoza średniej ruchowej skłania się do punktów zwrotnych o około 1 okresy Przykładowo, gdy 0 5 opóźnienie to 2 okresy, gdy 0 2 opóźnienie wynosi 5 okresów, gdy 0 1 opóźnienie wynosi 10 okresów, itd. Dla danego wieku średniego tj. Czas opóźnienia, prosta predykcyjna wygładzająca prognoza SES jest nieco wyższa niż zwykłe poruszanie się średnia prognoza SMA, ponieważ w ostatniej obserwacji obserwuje się relatywnie większą wagę - co nieco odpowiada na zmiany zachodzące w niedawnej przeszłości Przykładowo model SMA z 9 terminami i model SES z 0 2 mają średni wiek z 5 dla da w swoich prognozach, ale model SES wiąże się z ostatnimi 3 wartościami niż model SMA, a jednocześnie nie zapominają o wartościach powyżej 9 okresów, jak pokazano na poniższej wykresie. Inna ważna przewaga model SES w modelu SMA polega na tym, że model SES wykorzystuje parametr wygładzania, który jest ciągle zmienny, dzięki czemu można z łatwością zoptymalizować przy użyciu algorytmu solver w celu zminimalizowania średniego kwadratu. wynosiła 0 2961. Średni wiek danych w tej prognozie wynosi 1 0 2961 3 4 okresów, co jest zbliżone do średniej 6-letniej średniej ruchomej. Prognozy długoterminowe z modelu SES to horyzontalna linia prosta, jak w modelu SMA i model losowego chodzenia bez wzrostu Jednak należy zauważyć, że przedziały ufności obliczane przez Statgraphics różnią się w rozsądny sposób i że są one znacznie węższe niż przedziały ufności dla rand om walk model Model SES zakłada, że ​​seria jest nieco bardziej przewidywalna niż model losowego spaceru. Model SES jest w rzeczywistości przypadkiem specjalnym modelu ARIMA, więc statystyczna teoria modeli ARIMA stanowi solidną podstawę do obliczania przedziałów ufności dla Model SES W szczególności model SES jest modelem ARIMA z odmienną różnicą, terminem MA 1, a nie określonym terminem znanym jako model ARIMA 0,1, bez stałego Współczynnik MA 1 w modelu ARIMA odpowiada ilość 1 - w modelu SES Przykładowo, jeśli pasujesz do modelu ARIMA 0,1,1 bez stałej wartości w analizowanych seriach, szacowany współczynnik MA 1 wyniósł 0 7029, czyli prawie o jeden minus 0 2961. Możliwe jest dodanie założenia niezerowej stałej tendencji liniowej do modelu SES W tym celu wystarczy podać model ARIMA z jedną różniczką różniczkową i termin MA 1 ze stałą, tj. Model ARIMA 0,1,1 ze stałymi prognozami długoterminowymi a następnie mają tendencję, która jest równa średniej tendencji obserwowanej w całym okresie szacowania Nie można tego zrobić w połączeniu z dostosowaniem sezonowym, ponieważ opcje sezonowej korekty są wyłączone, gdy typ modelu jest ustawiony na ARIMA. Można jednak dodać stałą długo tendencja wykładnicza do prostego modelu wyrównania wykładniczego z sezonową korektą lub bez sezonu z zastosowaniem opcji dostosowania inflacji w ramach procedury prognozowania Odpowiednia stopa wzrostu inflacji w danym okresie może być oszacowana jako współczynnik nachylenia w modelu tendencji liniowej dopasowany do danych w w połączeniu z naturalną transformacją logarytmową lub może opierać się na innych, niezależnych informacjach dotyczących perspektyw wzrostu długoterminowego Powrót na górę strony. Brown s Linear czyli podwójne wyrównywanie wyrównania. Modele SMA i modele SES zakładają, że nie ma tendencji do jakiegokolwiek rodzaju w danych, które zwykle są OK lub przynajmniej nie-zbyt-kiepskie w przypadku prognoz jednostopniowych, gdy dane są stosunkowo noi sy i mogą być modyfikowane w celu uwzględnienia stałej tendencji liniowej, jak pokazano powyżej. Co z trendami krótkoterminowymi Jeśli seria wykazuje zmienną szybkość wzrostu lub cykliczny wzór, który wyróżnia się wyraźnie na tle hałasu, a jeśli istnieje potrzeba prognozowanie bardziej niż 1 okresu do przodu, a następnie oszacowanie lokalnej tendencji może być problem Prosty model wyrównywania wykładniczego może być uogólniony w celu uzyskania liniowego modelu wygładzania wykładniczego mierzącego lokalną estymację zarówno poziomu, jak i tendencji. Najprostszy trend zmieniający się w czasie model jest brązowym linearnym wykładnikiem wykładniczym, który wykorzystuje dwie różne wygładzone serie, które są skoncentrowane w różnych punktach czasu Formuła prognozowana oparta jest na ekstrapolacji linii przez dwa centra Wyrafinowaną wersją tego modelu, Holt s, jest omówione poniżej. Forma algorytmowa liniowego modelu wygładzania wykładanego przez Brown'a, podobnego do prostego modelu wygładzania wykładniczego, może być wyrażona w wielu różnych, ale formy kwantancyczne Standardowa forma tego modelu jest zwykle wyrażana w następujący sposób Niech S oznacza pojedynczo wygładzoną serię otrzymaną przez zastosowanie prostego wygładzania wykładniczego do serii Y Oznacza to, że wartość S w okresie t jest podana przez. Przypomnijmy, że w prostym wyrównaniu wykładniczym byłaby to prognoza dla Y w okresie t 1 Następnie niech S oznacza podwójnie wygładzoną serię otrzymaną przez zastosowanie prostego wyrównania wykładniczego przy użyciu tego samego do serii S. Na koniec prognoza dla Y tk dla dowolnego k 1, daje te plony e 1 0 tj. oszukiwać nieco i niech pierwsza prognoza będzie równa rzeczywistej pierwszej obserwacji, a y 2 Y 2 Y 1, po której generowane są prognozy przy użyciu powyższego równania To daje takie same dopasowane wartości jako wzór oparty na S i S, jeśli te ostatnie zostały uruchomione przy użyciu S 1 S 1 Y 1 Ta wersja modelu jest używana na następnej stronie, która ilustruje kombinację wygładzania wykładniczego z dostosowaniem sezonowym. Holt s Linear Exponential Smoothing. Brown s Model LES oblicza lokalne szacunki poziomu i tendencji, wygładzając ostatnie dane, ale fakt, że robi to z pojedynczym parametrem wygładzania, ogranicza wzorce danych, które jest w stanie dopasować do poziomu i tendencji nie można zmieniać w niezależne modele Model LES Holt'a rozwiązuje ten problem przez uwzględnienie dwóch stałych wygładzania, po jednym dla poziomu i jednego dla trendu W dowolnym momencie t, podobnie jak w modelu Browna, istnieje szacunkowy poziom L t na poziomie lokalnym i szacunek T t lokalnej tendencji Tutaj są one obliczane rekurencyjnie z wartości Y obserwowanej w czasie t oraz poprzednich szacunków poziomu i tendencji przez dwa równania, które stosują wyrównywanie wykładnicze osobno dla nich. Jeśli szacowany poziom i tendencja w czasie t-1 są odpowiednio L t 1 i T t 1, wówczas prognoza dla Y t, która została dokonana w czasie t-1, jest równa L t-1 T t-1 Gdy rzeczywista wartość jest zaobserwowana, zaktualizowane oszacowanie poziom jest obliczany rekurencyjnie przez interpolowanie pomiędzy Y t a jego prognozą, L t-1 T t-1, przy użyciu odważników i 1. Zmiana szacowanego poziomu, mianowicie L t L t 1 może być interpretowana jako hałaśliwy pomiar trend w czasie t Uaktualniony szacunek trendu oblicza się rekurencyjnie przez interpolację między L t L t 1 i poprzedni szacunek trendu T t-1 przy użyciu odważników i 1. Interpretacja stała wygładzania trendu jest analogiczna do stałej wygładzania poziomu Modele o małych wartościach zakładają, że tendencja zmienia się tylko bardzo powoli w czasie, a modele o większym założeniu, że zmienia się szybciej Model z dużą grupą uważa, że ​​dalekiej przyszłości jest bardzo niepewna, ponieważ błędy w oszacowaniu tendencji stają się bardzo ważne, gdy prognozuje się więcej niż jeden rok naprzód Powrót do początku strony. Stałe wygładzania i można je oszacować w zwykły sposób minimalizując średnie kwadratowe błędy prognoz 1-krotnego wyprzedzenia Jeśli to nastąpi w programie Statgraphics, szacunki szacuje się na 0 3048 i 0 008 Bardzo mała wartość oznacza, że ​​model zakłada bardzo niewielką zmianę tendencji z jednego okresu do następnego, więc w zasadzie ten model próbuje oszacować długoterminową tendencję Przez analogię do pojęcia średniego wieku danych używanych do szacowania t lokalny poziom szeregu, średni wiek danych wykorzystywanych do oszacowania tendencji lokalnej jest proporcjonalny do 1, choć nie jest do niego równy. W tym przypadku okazuje się, że wynosi on 1 0 006 125 To jest bardzo dokładna liczba ponieważ dokładność szacunkowa nie jest naprawdę 3 miejsc po przecinku, ale ma ten sam ogólny porządek wielkości jak wielkość próbki 100, więc model ten jest uśredniony w odniesieniu do dość dużej liczby historii w szacowaniu tendencji Wykres prognozy poniżej pokazuje, że model LES szacuje nieco większą tendencję lokalną na końcu serii niż stała tendencja szacowana w modelu tendencji SES Również szacunkowa wartość jest niemal identyczna z wartością otrzymaną przez dopasowanie modelu SES z tendencją lub bez , więc jest to prawie ten sam model. Jest to wyglądające jak uzasadnione prognozy modelu, które ma być szacowaniem tendencji lokalnej Jeśli zauważysz tę fabułę, wygląda na to, że lokalny trend spadł w dół pod koniec seria Wh jak się zdarzyło Parametry tego modelu zostały oszacowane przez zminimalizowanie kwadratu błędu prognoz 1-krotnego wyprzedzenia, a nie dłuższych prognoz, w których to przypadku trend nie robi dużo różnicy Jeśli wszystko, co szukasz, to 1 - stop-ahead błędy, nie widzisz większego obrazu trendów w ciągu 10 lub 20 okresów Aby uzyskać ten model w zgodzie z naszą ekstrapolacją danych wzrokowych, możemy ręcznie dostosować stałą wygładzania trendu tak, aby używa krótszej linii odniesienia do szacowania tendencji Na przykład, jeśli zdecydujemy się na ustawienie 0 1, średni wiek danych wykorzystywanych do oszacowania tendencji lokalnej wynosi 10 okresów, co oznacza, że ​​uśrednimy tendencję w ciągu ostatnich 20 okresów Oto jak wygląda planowana fabuła, jeśli ustawimy 0 1, zachowując 0 3 To intuicyjnie rozsądne dla tej serii, chociaż prawdopodobne jest, że prawdopodobne jest, że ekstrapolacja tej tendencji nastąpi więcej niż 10 okresów w przyszłości. porównanie modelu f lub dwóch modeli pokazanych powyżej oraz trzech modeli SES Optymalna wartość modelu SES wynosi około 0 3, ale uzyskuje się podobne wyniki z nieco większą lub mniejszą czułością na reakcję przy wartości 0 5 i 0 2. Wyrównanie liniowe Holta z alfa 0 3048 i beta 0 008. B Wyrównanie liniowe Holta z alfa 0 3 i beta 0 1. C Zwykłe wyrównanie wykładnicze z alfa 0 5. D Zwykłe wyrównanie wykładnicze z alfa 0 3. E Proste wyrównanie wykładnicze z alfa 0 2 Statystyki są prawie identyczne, więc naprawdę nie możemy dokonać wyboru na podstawie jednoetapowych prognoz błędów w próbce danych Musimy zwrócić uwagę na inne rozważania Jeśli uważamy, że ma sens oprzeć obecny oszacowanie tendencji na tym, co się wydarzyło w ciągu ostatnich 20 okresów, możemy stworzyć przypadek modelu LES z 0 3 i 0 1 Jeśli chcemy być agnostyczni na temat tego, czy istnieje tendencja lokalna, wówczas jeden z modeli SES mógłby łatwiej wyjaśnić, a także dać więcej middl e-of-the-road prognozy na najbliższe 5 lub 10 okresy Powrót na początek strony. Jakiego rodzaju tendencja-ekstrapolacja jest najlepsza w horyzontalnym lub liniowym Dane empiryczne sugerują, że jeśli dane zostały już skorygowane, jeśli jest to konieczne dla inflacji, to może być nierozsądne ekstrapolacja krótkoterminowych trendów liniowych bardzo daleko w przyszłość Trendy widoczne dziś mogą spowolnić w przyszłości ze względu na różne przyczyny, takie jak nieaktualność produktu, zwiększona konkurencja i cykliczne spowolnienie gospodarcze lub wzrost w przemyśle Z tego powodu prosty wykładniczy wygładzanie często wykonuje lepszą próbę poza próbą niż oczekiwano inaczej, pomimo jej naiwnej ekstrapolacji trendu horyzontalnego Często w praktyce często stosuje się modyfikacje trendu tłumiącego liniowego modelu wygładzania wykładniczego, aby wprowadzić w notatki konserwatyzmu tendencje tendencji tendencji tłumionej Model LES może być implementowany jako szczególny przypadek modelu ARIMA, w szczególności modelu 1,1,2 ARIMA. Można obliczyć przedziały ufności a długoterminowe prognozy wygenerowane przez wykładnicze modele wygładzania, biorąc pod uwagę je jako szczególne przypadki modeli ARIMA Należy uważać, aby nie wszystkie programy obliczały przedziały ufności dla tych modeli prawidłowo Szerokość przedziałów ufności zależy od iu błędu RMS modelu, ii typu wygładzanie proste lub liniowe iii wartość s stała wygładzania s oraz liczba przewidywanych okresów W ogóle odstępy czasowe rozprzestrzeniają się szybciej, powiększając się w modelu SES i rozchodzą się znacznie szybciej, gdy liniowy, a nie prosty wygładzanie jest wykorzystywane Ten temat został omówiony w dalszej części rozdziału ARIMA w notatkach. Powrót na górę strony. Krótkie wprowadzenie do współczesnych serii czasowych Definicja Seria czasowa to funkcja losowa xt argumentu t w zbiorze T Innymi słowy , seria czasowa jest rodziną zmiennych losowych x t-1 xtxt 1 odpowiadającą wszystkim elementom w zbiorze T, gdzie T ma być denumerableable, nieskończonym zbiorem. Definicja Obserwowany czas seria tte T o T jest uważana za część jednej realizacji funkcji losowej xt Nieskończony zestaw możliwych realizacji, które mogłyby być przestrzegane, nazywa się zespołem. W celu dokładniejszego wprowadzenia rzeczy seria czasu lub funkcja losowa jest prawdziwą funkcją xw, t dwóch zmiennych w i t, gdzie wW i t Jeśli ustalimy wartość w mamy prawdziwą funkcję xtw czasu t, czyli realizację szeregu czasowego Jeśli ustalimy wartość t, to mamy losową zmienną xwt Dla danego momentu istnieje rozkład prawdopodobieństwa w x W ten sposób funkcja losowa xw, t może być uważana za rodzinę zmiennych losowych lub jako rodzinę realizacji. Definicja Zdefiniujemy funkcję rozkładu zmiennej losowej w podanej t0 jako P oxx Podobnie możemy określić rozkład połączeń dla n zmiennych losowych. Punkty, które odróżniają analizę serii czasowych od zwykłych analiz statystycznych, są następujące: 1 Zależność pomiędzy obserwacjami w różnych chro Punkty nologiczne w czasie odgrywają istotną rolę Innymi słowy, kolejność obserwacji jest ważna W zwyczajnej analizie statystycznej zakłada się, że obserwacje są wzajemnie niezależne 2 Domena t jest nieskończona 3 Musimy wnioskować z jednej realizacji Realizacja zmiennej losowej można zaobserwować tylko raz w każdym punkcie czasowym W analizie wielowymiarowej mamy wiele obserwacji na ograniczoną liczbę zmiennych Ta różnica krytyczna wymaga założenia stacjonarności. Definicja Funkcja losowa xt jest ściśle stacjonarna, jeśli wszystkie skończone funkcje rozkładu wymiarów definiujące xt pozostają takie same, nawet jeśli cała grupa punktów t 1 t 2 tn przesuwa się wzdłuż osi czasu Oznacza to, że jeśli dla dowolnych liczb całkowitych t 1 t 2 tn i k Graficznie można było wyobrazić realizację serie ściśle stacjonarne, mające nie tylko ten sam poziom w dwóch różnych przedziałach, ale także te same funkcje dystrybucyjne, aż do parame które definiują to Założenie stacjonarności sprawia, że ​​nasze życie jest prostsze i mniej kosztowne Bez stacjonarności musimy często próbować tego procesu w każdym punkcie czasowym, aby zbudować charakterystykę funkcji dystrybucyjnych we wcześniejszej definicji Stacjonarność oznacza, że ​​możemy ograniczyć naszą uwagę na kilka najprostszych funkcji numerycznych, tj. momentów rozkładu Momenty centralne podane są w definicji i Średnia wartość serii czasowej t to teraźniejszość pierwszego rzędu ii Funkcja autokoromiarowa t is. ie druga moment o średniej Jeśli ts ma wariancję xt Użyjemy do oznaczenia autokoromowości stacjonarnej serii, gdzie k oznacza różnicę między t i s iii Funkcja autokorelacji ACF t jest. Użyjemy do oznaczenia autokorelacji z serii stacjonarnych, gdzie k oznacza różnicę między t i s iv Częściowa autokorelacja PACF f kk jest korelacją między zt i ztk po ponownym przenosząc wzajemną zależność liniową od zmiennych interwencyjnych zt 1 zt 2 zt k-1 Jedyny prosty sposób obliczania częściowej autokorelacji pomiędzy zt i ztk polega na uruchomieniu dwóch regresji. Następnie oblicza korelację między dwoma wektorami resztkowymi lub, po zmierzeniu zmiennych jako odchyleń od ich własnych środków, częściową autokorelację można znaleźć jako współczynnik regresji LS na zt w modelu. gdzie kropka nad zmienną wskazuje, że jest mierzona jako odchylenie od jego średniej v równania Yule-Walkera stanowią ważne relacje pomiędzy częściowymi autokorelacjami a autokorelacjami Pomnożenie obu stron równania 10 przez zt kj i spełnienie oczekiwań Ta operacja daje nam następującą równość różniczkową w autokovariances. or, w kategoriach autokorelacji. Ta pozornie prosta reprezentacja jest naprawdę potężnym wynikiem , dla j 1,2 k możemy napisać pełny układ równań znany jako równanie Yule-Walker. Z algebry liniowej y ou wiadomo, że macierz rs ma pełną rangę Zatem możliwe jest zastosowanie reguły Cramera kolejno dla k 1,2 w celu rozwiązania systemu częściowych autokorelacji Pierwsze trzy są Mamy trzy ważne wyniki na ściśle stacjonarnych seriach. Implikacja jest to, że możemy użyć dowolnej skończonej sekwencji do oszacowania średniej drugiej, jeśli t jest ściśle stacjonarna, a E t2.Istnieje, że autokoromiaria zależy tylko od różnicy między t i s, a nie ich chronologicznego punktu w czasie mogłaby użyć dowolnej pary przedziałów w obliczaniu autokoróżnii, o ile czas między nimi był stały i możemy użyć dowolnej skończonej realizacji danych do oszacowania autokarów. Po trzecie, funkcja autokorelacji w przypadku ścisłej stacjonarności jest podana przez. Implikacja polega na tym, że autokorelacja zależy również od różnicy między t i s, a także może być oszacowana przez skończoną realizację danych. Jeśli nasz cel i s w celu oszacowania parametrów, które są opisowe możliwych realizacji szeregu czasowego, to może ścisła stacjonarność jest zbyt restrykcyjna Na przykład jeśli średnia i kowariancja xt są stałe i niezależne od punktu chronologicznego w czasie, być może nie jest to ważne że funkcja dystrybucji jest taka sama dla różnych przedziałów czasowych. Określenie Funkcja losowa jest nieruchoma w szerokim znaczeniu lub słabo stacjonarna lub nieruchoma w sensie Khinchina, lub wariancja kowariancji, jeśli m 1 tm i m 11 t, s. Strict stacjonarność sama w sobie nie oznacza słabej stacjonarności Słaba stacjonarność nie implikuje ścisłej stacjonarności Stygencja stacjonarności z E t2 implikuje słabą stacjonarność. Teoretyczne twierdzenia dotyczą kwestii niezbędnych i wystarczających warunków do wnioskowania z pojedynczej realizacji serii czasowej zasadniczo sprowadza się do przyjęcia słaba stacjonarność. Twierdzenie Jeśli t jest słabo stacjonarne ze średnią funkcją m i kowariancji, to. Oznacza to, że dla każdego e0 i h0 istnieje pewna liczba T tak, że dla wszystkich TT o i tylko wtedy, gdy jest to konieczne. Warunek konieczny i wystarczający polega na tym, że autocovariances die out, w którym to przypadku średnica próbki jest spójnym estymatorem dla populacji średnia. Corollary Jeśli t jest słabo stacjonarny z E tkxt 2 dla dowolnego t, a E tkxtxtskxts jest niezależny od t dla dowolnej liczby całkowitej s, then. if i tylko wtedy, gdy. A konsekwencją następnego założenia jest założenie, że xtxtk słabo stacjonarne Twierdzenie ergonomiczne jest czymś więcej niż prawem dużej liczby, gdy obserwacje są skorelowane. W tym punkcie można by zapytać o praktycznych implikacjach stacjonarności Najczęstszym zastosowaniem technik serii czasowych jest modelowanie danych makroekonomicznych, zarówno teoretyków i atheoryczne Jako przykład tych pierwszych, można mieć model przyspieszeniowy mnożnikowy Aby model był nieruchome, parametry muszą mieć pewne wartości. Test modelu ma następnie zbierać releva nt dane i oszacować parametry Jeśli szacunki nie są spójne z stacjonarnością, to trzeba przemyśleć model teoretyczny lub model statystyczny, albo oba. Mamy teraz wystarczająco dużo maszyn, aby zacząć mówić o modelowaniu jednowymiarowych danych z serii czasowych cztery kroki w procesie 1 modele budynku z wiedzy teoretycznej i doświadczalnej 2 identyfikacja modeli w oparciu o dane obserwowane seria 3 dopasowanie modeli szacujących parametry modelu s 4 sprawdzenie modelu Jeśli w czwartym kroku nie jesteśmy zadowoleni, wracamy krok pierwszy Proces jest powtarzalny, dopóki dalsze sprawdzanie i respektowanie nie daje dalszej poprawy wyników Diagramatycznie Zdefiniuj Niektóre proste operacje to: Operator Backshift Bx tx t-1 Operator naprzód Fx txt 1 Operator różniący się 1 - B xtxt - x t -1 Operator różni się zachowaniem w sposób zgodny ze stałą w nieskończonej serii. Oznacza to odwrotność limi t nieskończonej sumy Mianowicie, -1 1-B -1 1 1-B 1 BB 2 Operator integrujący S -1 Ponieważ jest to odwrotność operatora różnicowego, operator integrujący służy do skonstruowania sumy. BUELDING MODUŁU W tym sekcja przedstawia krótki przegląd najbardziej popularnych modeli szeregów czasowych W oparciu o wiedzę o procesie generowania danych wybieramy klasę modeli do identyfikacji i estymacji z możliwości, które nastąpią. Definicja Załóżmy, że Ex tm jest niezależna t Model taki jak. z charakterystyką nazywa się autoregresywnym modelem zlecenia p, ARp. Definition Jeśli zależny od czasu proces stochastyczny t spełnia to t mówi się, że spełniał właściwość Markov Na LHS oczekiwanie jest uwarunkowane na nieskończona historia xt Na RHS jest uwarunkowana tylko na części historii Z definicji, model AR p jest postrzegany jako spełniający własność Markowa Używając operatora Backshift możemy napisać nasz model AR jako. To jest konieczne i wystarczające warunek dla modelu AR p, który ma być nieruchoma, jest taki, że wszystkie pierwiastki wielomianu znajdujące się poza okręgiem jednostkowym. przykład 1 Rozważmy AR 1 Jedynym korzeniem 1 - f 1 B 0 jest B 1 f 1 Warunek dla wymagana jest stacjonarność. Jeśli wtedy obserwowane serie okażą się bardzo frustrujące, weźmiemy pod uwagę, że biały hałas ma rozkład normalny ze średnią zerową i wariancją jednego Przełącznik obserwacji z niemal każdą obserwacją. Jeśli z drugiej strony , obserwowana seria będzie znacznie gładsza. W tej serii obserwacja ma tendencję do przekraczania 0, jeśli jej poprzednik był powyżej zera. Wariancja et jest równa se 2 dla wszystkich t Wariancja xt, gdy ma zero średnią, jest podana przez Ponieważ seria jest stacjonarna, możemy napisać o tym. Funkcja autokoromiarowa serii AR1 jest, przypuszczając, bez utraty ogólności m. Aby zobaczyć, jak wygląda to w odniesieniu do parametrów AR, będziemy korzystać z faktu, że możemy napisz xt w następujący sposób. Podkreślanie przez x tk i odbieranie e xpectations. Notumuj, że autokorozby wygasają, gdy k wzrasta Funkcja autokorelacji jest autokoromiarą podzieloną przez wariancję białego szumu lub, używając wcześniejszych formuł Yule-Walkera do częściowych autokorelacji, jakie mamy. W przypadku AR 1 autokorelacje umierają wykładniczo i częściowe autokorelacje wykazują skok przy jednym z opóźnieniem i są zerowe. Przykład 2 Rozważmy AR 2 Związany wielomian w operatorze opóźnienia jest. Korzenie można znaleźć przy użyciu wzoru kwadratowego. Korzenie są. Kiedy korzenie są rzeczywiste i w konsekwencji serie spadną wykładniczo w odpowiedzi na wstrząsy Gdy korzenie są złożone, a serie będą postrzegane jako tłumiona fala znaku. Twierdzenie stacjonarne nałożyło następujące warunki na współczynniki AR. Autowowidżenie dla procesu AR2 z zero oznacza, jest. Podzielony przez przez wariancję xt daje funkcję autokorelacji Ponieważ możemy pisać podobnie dla drugiej i trzeciej autokorelacji. że autokorelacje są rozwiązywane w sposób rekursywny. Ich wzór zależy od korzeni drugiego równoważnika różnicy rzędu. Jeśli korzenie są rzeczywiste, autokorelacje spadną wykładniczo. Gdy korzenie są złożone, autokorelacje pojawiają się jako tłumiona fala sinusoidalna. Równoległości Walkera, częściowe autokorelacje są. Z drugiej strony, autokorelacje umierają powoli Częściowa autokorelacja z drugiej strony jest dość charakterystyczna Posiada skoki na jednym i dwóch opóźnieniach i jest zerowy następująco. Twierdzenie Jeśli xt jest nieruchomym procesem AR p, to może być równoznacznie zapisany jako model filtru liniowego Oznacza to, że wielomian w operatorze przesuwu wstecznego można odwrócić, a AR p zapisywana jako średnia ruchoma nieskończonego porządku. przykład Załóżmy, że zt jest procesem AR 1 ze zerową średnią Co jest prawdą dla obecny okres musi być także prawdą dla poprzednich okresów W ten sposób zastępując rekurencyjne możemy pisać. Za obiema stronami i weźmy oczekiwania. Po prawej stronie zniknij s jako k od f 1 W związku z tym suma zeruje się do zt w średniej kwadratowej Możemy przepisać model AR p jako filtr liniowy, który wiemy, że jest stacjonarny. Funkcja autokorelacji i częściowa autokorelacja Ogólnie Załóżmy, że stacjonarna seria zt ze średnim zerem jest znany jako autoregresywny Funkcja autokorelacji AR p jest znaleziona przez spełnianie oczekiwań i dzielenie przez wariancję z t. This mówi nam, że rk jest liniową kombinacją poprzednich autokorelacji Możemy to wykorzystać przy zastosowaniu reguły Cramera do i w rozwiązywaniu dla f kk W szczególności możemy zauważyć, że ta liniowa zależność spowoduje f kk 0 dla kp Ta charakterystyczna cecha serii autoregresji będzie bardzo użyteczna jeśli chodzi o identyfikację nieznanej serii. Jeśli masz albo MathCAD, albo MathCAD Eksplorator następnie eksperymentować interaktywnie z niektórymi pomysłami AR p przedstawionymi tutaj. Moving Średnia modele Rozważmy dynamiczny model, w którym seria zainteresowań zależy tylko od jakiejś części historia białego hałasu Diagrammatycznie może to być reprezentowane jako. Definicja Załóżmy, że jest niekochloną sekwencją zmiennych losowych iid z zerową różnicą średnią i skończoną Następnie ruchomy przeciętny proces rzędu q, MA q jest podany przez twierdzenie A ruchomy przeciętny proces jest zawsze stacjonarny Dowód Raczej niż początek ogólny dowód, że zrobimy to dla konkretnego przypadku Załóżmy, że zt to MA1 Następnie oczywiście zero ma średnią i skończoną wariancję Średnia zt jest zawsze równa zeru Automatyczno - podane przez. Widać, że średnia zmiennej losowej nie zależy od czasu w jakikolwiek sposób Można również zauważyć, że autokoromiaria zależy tylko od offsetów s, a nie od miejsca, w którym zaczynamy serię Możemy udowodnić ten sam wynik więcej ogólnie zaczynając od, która ma alternatywną średnią ruchomą reprezentację Zastanów się najpierw na wariancji z t. By rekurencyjne substytucji można wykazać, że jest to równe. S sumę wiemy, że są zbieżne serii więc wariancja jest skończona i jest niezależna od czasu Na przykład kowariancje można zauważyć. Można również zauważyć, że autokomisy automatyczne zależą tylko od punktów względnych w czasie, a nie w punkcie chronologicznym czasu. Nasz wniosek z tego wszystkiego polega na tym, że proces MA jest stacjonarny ogólny MA q proces funkcji autocorrelation jest podany przez. Funkcja częściowego autokorelacji umrze gładko Możesz zobaczyć to przez odwrócenie procesu, aby uzyskać proces AR. Jeśli masz albo MathCAD lub MathCAD Explorer następnie można eksperymentować interaktywnie z niektórymi omówione tutaj pomysły MA. Mixed Autoregressive - Moving Average Models. Definicja Załóżmy, że na jest niezwiązaną sekwencją zmiennych losowych iid z zerową średnią i skończoną wariancją Następnie autoregresywny, średni ruch średni p, q, ARMA p, q jest podane przez. Korzenie operatora autoregresywnego muszą leżeć poza okręgiem jednostkowym Liczba nieznanych punktów jest pq 2 P i q są oczywiste 2 zawiera poziom procesu, m d wariancja białego szumu, sa 2.Suppose, że łączymy nasze przedstawienia AR i MA tak, że model jest. i współczynniki są znormalizowane tak, że bo 1 Następnie ta reprezentacja nazywa się ARMA p, q jeśli korzenie 1 wszystkie leżą poza okręgiem jednostkowym Załóżmy, że yt są mierzone jako odchylenia od średniej, więc możemy upuścić ao, a następnie funkcja autourakwencyjna jest pochodną. If jq, a następnie wycofanie terminów MA w oczekiwaniu. To jest, funkcja autokorowalności wygląda jak typowy AR dla opóźnień po q umierają gładko po q, ale nie możemy powiedzieć jak 1,2,, q będzie wyglądać Możemy również zbadać PACF dla tej klasy modelu Model można zapisać jako. Możemy napisać to jako proces MA inf. Jak sugeruje, że PACF zdechnie powoli z pewną liczbą arytmetyczną możemy wykazać, że dzieje się to dopiero po pierwszych impulsach spowodowanych przez część AR. Empiryczne prawo W rzeczywistości może być reprezentowana stacjonarna seria czasowa przez p 2 i q 2 Jeśli twoja firma ma zamiar udowodnić ide dobre przybliżenie do rzeczywistości i dobroć dopasowania jest Twoje kryterium, wtedy model marnotrawstwa jest preferowany Jeśli twoje zainteresowanie jest skutecznością predykcyjną, wówczas preferowany jest bardziej oszczędny model. Eksperyment z przedstawionymi powyżej pomysłami ARMA z arkuszem MathCAD. Regulacja pośrednia z integracją Moving Average Models. Filtr MA filtra AR Zintegrowany filtr. Czasami proces lub seria próbujemy modelować nie jest stacjonarna na poziomie, ale może to być nieruchome, np. Pierwsze różnice. Oznacza to, że w pierwotnym kształcie autoklanoże dla serii mogą nie być niezależnie od punktu chronologicznego w czasie Jeśli jednak skonstruujemy nową serię, która jest pierwszą różnicą oryginalnych serii, ta nowa seria spełnia definicję stacjonarności. Jest to często przypadek danych ekonomicznych, które są wysoce trends. Definicja Załóżmy, że zt nie jest stacjonarny, ale zt - zt-1 spełnia definicję stacjonarności Również, w, biały hałas ma skończoną średnią i wariancję Możemy w rytm model p określa kolejność operatora AR, d identyfikuje moc na q określa kolejność operatora MA Jeśli korzenie f B leżą poza okręgiem jednostkowym, wówczas możemy przepisać ARIMA p, d, q jako liniowy filtr Ie może być napisany jako MA Zastrzegamy sobie dyskusję na temat wykrycia korozji jednostkowej dla innej części wykładów. Zastanów się dynamicznym systemem z xt jako wejściem serie i yt jako serie wyjściowe Diagrammatycznie mamy modele. Są to dyskretna analogia równań różniczkowych liniowych Przypuśćmy, że relacja jest następująca: gdzie b wskazuje czysty czas opóźnienia Przypomnijmy, że 1-B Dokonując tego zastąpienia można napisać model. Jeżeli współczynnik wielomian na yt można odwrócić, a następnie model można zapisać jako. VB jest znany jako funkcja odpowiedzi impulsowej Znowu omówimy tę terminologię w naszej późniejszej dyskusji na temat autoregresji współzależności wektorowej i modeli korekcji błędów. MODEL IDENTIFICATION Having de cided na klasie modeli, trzeba teraz zidentyfikować kolejność procesów generujących dane. Oznacza to, że należy dokładnie przypuszczać, co do kolejności procesów AR i MA, prowadzących stacjonarne serii stacjonarne serii A, jest całkowicie scharakteryzowana przez jego średnią i autocovariances Ze względów analitycznych najczęściej pracujemy z autokorelacjami i częściowymi autokorelacjami Te dwa podstawowe narzędzia mają niepowtarzalne wzorce dla stacjonarnych procesów AR i MA Można obliczyć próbkowe estymaty funkcji autokorelacji i częściowej autokorelacji i porównać ich wyniki do wzorcowych wzorców standardowych. Funkcja automatycznej komplementarności. Przykładowa autokorelacja funkcji. Przykładowe częściowe autokorelacje będą wykorzystywane. Używanie autokorelacji i częściowych autokorelacji jest całkiem proste w założeniu Załóżmy, że mamy serię zt ze średnią zerową, czyli AR 1 Gdybyśmy mieli uruchomić regresję zt 2 na zt 1 i zt spodziewamy się, że współczynnik na zt nie był inny m zero, ponieważ ta częściowa autokorelacja powinna wynosić zero Z drugiej strony, autokorelacje dla tej serii powinny być malejące wykładniczo dla zwiększania opóźnień patrz przykład AR1 powyżej Załóżmy, że seria jest rzeczywiście średnią ruchoma Autokorelacja powinna być zerowa wszędzie, ale w pierwszym opóźnieniu Częściowa autokorelacja powinna umierać wykładniczo Nawet z naszej bardzo pobieżnej romp poprzez podstawy analizy szeregów czasowych jest oczywiste, że istnieje dualność między procesami AR i MA Ta dualność może być podsumowana w poniższej tabeli.2 1 Przenoszenie modeli wzorców średnich modeli. Modele serii czasowej znane jako modeli ARIMA mogą obejmować pojęcia autoregresywne i średnie ruchy. W pierwszym tygodniu dowiedzieliśmy się, że termin autoregresji w modelu szeregów czasowych dla zmiennej xt jest opóźnioną wartością xt. Na przykład, warunek autoregresji 1 x x-1 pomnożony przez współczynnik Ta lekcja definiuje średnie ruchome średnie. Średni ruch w modelu szeregów czasowych to przeszłość e rror pomnożony przez współczynnik. Zważywszy na N0, sigma 2w, co oznacza, że ​​wagi są identyczne, niezależnie rozproszone, każdy z rozkładem normalnym o średniej 0 i tej samej wariancji. Średni model przenoszenia 1 rzędu, oznaczony jako MA 1 jest. xt mu wt theta1w. Średni model rzędowy, oznaczony symbolem 2. xt mu wt theta1w theta2w. Średni model rzędu q, oznaczony przez MA q. xt mu wt theta1w theta2w kropki thetaqw. Uwaga Wiele podręczników i programów definiuje model z negatywnymi znakami przed warunkami To nie zmienia ogólnych teoretycznych właściwości modelu, chociaż odwraca znaki algebraiczne szacowanych wartości współczynników i nieokreślonych warunków w wzory dla ACF i wariancji Musisz sprawdzić oprogramowanie w celu sprawdzenia, czy użyto negatywnych lub pozytywnych oznaczeń, aby prawidłowo napisać szacowany model R korzysta z pozytywnych oznaczeń w modelu leżącym u podstaw, tak jak to ma miejsce. Teoretyczne właściwości serii czasowej z model MA 1.Należy zwrócić uwagę, że jedyną niższą wartością w teoretycznym ACF jest dla opóźnienia 1 Wszystkie pozostałe autokorelacje są równe 0 W ten sposób próbka ACF o znacznej autokorelacji tylko w punkcie 1 jest wskaźnikiem możliwego modelu MA 1. Dla zainteresowanych studentów, dowody dotyczące tych właściwości stanowią załącznik do tej broszury. Przykład 1 Załóżmy, że model MA 1 to xt 10 wt 7 w t-1, w którym przewyższa N 0,1 Tak więc współczynnik 1 0 7 Th e teoretyczne ACF jest podane przez. Za podstawie poniższego wykresu ACF przedstawiona jest teoretyczna ACF dla MA 1 z 1 0 7 W praktyce próbka wygrała t zazwyczaj zapewnia taki wyraźny wzór Używając R, symulowaliśmy n 100 wartości próbki przy użyciu modelu xt 10 w 7 w t-1 gdzie w t. iid N 0,1 Dla tej symulacji, szeregowy szereg wykresów z przykładowych danych Poniżej możemy powiedzieć wiele z tej wykresu. Przykładowy ACF dla symulacji dane następują Widzimy skok przy opóźnieniu 1, a następnie ogólnie wartości nieistotne dla opóźnień 1 Pamiętaj, że próbka ACF nie jest zgodna z teoretycznym wzorcem MA 1, co oznacza, że ​​wszystkie autokorelacje dla opóźnień 1 będą 0 A inna próbka miałaby nieco odmienną próbkę ACF pokazaną poniżej, ale najprawdopodobniej miałyby tę samą szeroką charakterystykę. Właściwości teoretyczne serii czasowej z modelem MA 2. Dla modelu MA 2, teoretyczne właściwości są następujące. Zwróć uwagę, że jedyne niż zerowe wartości w teoretycznym ACF dotyczą opóźnień 1 i 2 Autocorrelat jony dla wyższych opóźnień są równe 0 Więc próbka ACF o znacznych autokorelacjach w przypadku opóźnień 1 i 2, ale nieistotne autokorelacje dla wyższych opóźnień wskazują na możliwy model MA2.iid N 0,1 Współczynniki to 1 0 5 i 2 0 3 Ponieważ jest to MA 2, ten teoretyczny ACF będzie miał wartości inne niż z opóźnieniami 1 i 2. Wartości dwóch niezależnych autokorelacji są takie, jak wykresy teoretycznego ACF. Jak prawie zawsze jest tak, dane próbki wygrały t zachowują się dość tak doskonale jak teoria Symulacja n 150 wartości próbek dla modelu xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 gdzie w t. iid N 0,1 Seria szeregów czasowych wykresów danych jak następuje dane z próbki MA1 można wiele powiedzieć. Przykładowy ACF dla symulowanych danych Poniższy wzorzec jest typowy w sytuacjach, w których może być użyteczny model MA 2 Istnieją dwa statystycznie znaczące kolce przy opóźnieniach 1 i 2, a następnie nie - znaczne wartości dla innych opóźnień Zauważ, że z powodu błędu pobierania próbek próbka ACF nie była zgodna dokładny opis teoretyczny. ACF dla General MA q Models. A właściwość modeli MA q w ogóle jest to, że istnieją niezerowe autokorelacje dla pierwszych q opóźnień i autokorelacji 0 dla wszystkich opóźnień q. Niezależność połączenia między wartościami 1 i rho1 w modelu MA 1 W modelu MA 1, dla dowolnej wartości równej 1 1 odwzorowanie 1 daje tę samą wartość dla przykładu. Użyj 0 5 dla 1, a następnie użyj 1 0 5 2 dla 1 Otrzymasz rho1 0 4 w obu przypadkach. Aby zaspokoić teoretyczne ograniczenie zwane "invertibility", ograniczamy modele MA1 do wartości z wartością bezwzględną mniejszą niż 1 W podanym przykładzie, 1 0 5 będzie dozwoloną wartością parametru, podczas gdy 1 1 0 5 2 nie będzie. Odwracalność modeli MA. Nazwa modelu MA jest odwracalna, jeśli jest algebraiczna równoważna modelowi AR z nieskojarzonym zbiegiem Zbieżności, rozumiemy, że współczynniki AR spadają do 0 w czasie, gdy wracamy w czasie. Inwersalność jest ograniczeniem zaprogramowanym w oprogramowanie serii czasu używane do oszacowania współczynnika modele modeli z hasłami MA nie jest czymś, co sprawdzamy w analizie danych Dodatkowe informacje o ograniczeniu wstrząsów dla modeli MA 1 podano w dodatku. Uwagi wstępne Uwaga: Model MA q z określonym ACF jest tylko jeden model odwracalny Warunkiem koniecznym do odwrócenia jest to, że współczynniki mają takie wartości, że równanie 1- 1 y - - qyq 0 zawiera rozwiązania dla y, które leżą poza kołem jednostkowym. R Kod dla przykładów. W przykładzie 1 wykreślono teoretyczne ACF modelu xt 10 wt 7w t-1, a następnie symulowane n 150 wartości z tego modelu i wykreślono szereg próbkowania i próbkę ACF dla danych symulowanych Polecenia R służące do sporządzenia teoretycznej ACF były. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 opóźnień ACF dla MA 1 z theta1 0 7 opóźnień 0 10 tworzy zmienną o nazwie opóźnienia waha się od 0 do 10 opóźnień wydruku, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, typu h, głównego ACF dla MA 1 z theta1 0 7 abline h 0 dodaje oś poziomą do wykresu Pierwsze polecenie określa ACF i zapisuje je w obiekcie o nazwie acfma1 naszego wyboru. Konstrukcja poleceń poleceń trzeciego polecenia jest opóźniona w stosunku do wartości ACF dla opóźnień 1 do 10 Parametr ylab etykietuje na osi y, a główny parametr ustawia wartość tytuł na wykresie. Aby zobaczyć wartości liczbowe ACF wystarczy użyć polecenia acfma1. Symulacje i wykresy zostały wykonane za pomocą następujących poleceń. lista ma c 0 7 Symuluje n 150 wartości z MA 1 x xc 10 dodaje 10, aby uzyskać średnio 10 domyślnych wartości symulacji dla x wykresu x, typ b, główne Symulowane dane MA 1 acf x, xlim c 1,10, główne ACF dla symulacji dane przykładowe. W przykładzie 2 wykreślono teoretyczny ACF modelu xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2, a następnie symulowano n 150 wartości z tego modelu i wykreślono szereg próbkowania i próbkę ACF dla symulacji dane Zastosowano komendy R. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 opóźnienia 0 10 opóźnień w wydruku, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, typ h, główne ACF dla MA 2 z theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 wykres x, typ b, główny Symulowany model MA 2 Seria acf x, xlim c 1,10, główny ACF dla symulowanego MA 2 Dane. Podpis Dowodu Własności MA 1 Dla zainteresowanych studentów, oto dowody na teoretyczne właściwości modelu MA1. Tekst zmienności xt tekst mu wt theta1 w 0 tekst tekst wt tekstowy theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2w. W przypadku h 1, poprzedni wyrażenie 1 w 2 Dla każdego h 2 , poprzedni wyrażenie 0 Powodem jest to, że z definicji niezależności wt E wkwj 0 dla dowolnego kj Ponadto, ponieważ wt mają średnie 0, E wjwj E wj 2 w 2. Dla serii czasowych. Przyprowadź ten wynik, aby uzyskać ACF podany powyżej. Można odwrócić model MA jest to, że można napisać jako nieskończony wzór AR zamówienia, które zbieżne tak, że współczynniki AR zbiegają się do 0, gdy poruszamy się nieskończenie z powrotem w czasie Pokażemy invertibility dla modelu MA 1. Następnie relacja substytucyjna 2 dla t-1 w równaniu 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta2w. At równanie t-2 staje się równe 2. Następnie zastępujemy relację 4 dla w t-2 w równaniu 3. zt wt teta1 z - theta 21w wagi theta1z - theta 21 z - theta1w wagi theta1z - theta1 2z theta 31w. Jeśli mielibyśmy kontynuować nieskończoność otrzymamy model AR bez końca. zt wt theta1 z-theta 21z theta 31z - theta 41z dots. Note jednak należy pamiętać, że jeśli 1 1, współczynniki mnożące opóźnienia z będą wzrastać nieskończenie w miarę przesuwania się w czasie Aby temu zapobiec, potrzebujemy 1 1 Jest to warunek niewymiennego modelu MA 1. Model nieskoordynowanego zamówienia MA. W tygodniu 3 zobaczymy, że model AR1 można przekształcić w model MA bez końca. xt - mu wt phi1w phi 21w kropki phi k1 w kropkach sum phi j1w. Powyższe sumienie przeszłych hałasu białego jest znane jako przyczyna reprezentacji AR1 Innymi słowy, xt jest specjalnym typem MA o nieskończonej liczbie terminów cofanie się w czasie To jest nazywany nieskończonym rzędem MA lub MA Skończone rzędu MA jest nieskończonym porządkiem AR i dowolnym skończonym zamówieniem AR jest nieskończonym zleceniem MA. Recall w tygodniu 1 zauważyliśmy, że wymóg stacjonarnego AR 1 jest taki, 1 1 Niech s obliczy Var xt używając reprezentacji przyczynowej. W ostatnim kroku używa się podstawowego faktu o seriach geometrycznych, które wymagają phi1, w przeciwnym wypadku szeregowe rozbieżności.